Prove that :

$\sqrt{\dfrac{\text{1 + cos A}}{\text{1 - cos A}}} + \sqrt{\dfrac{\text{1 - cos A}}{\text{1 + cos A}}}$ = 2 cosec A

To prove:

$\sqrt{\dfrac{\text{1 + cos A}}{\text{1 - cos A}}} + \sqrt{\dfrac{\text{1 - cos A}}{\text{1 + cos A}}}$ = 2 cosec A

Solving L.H.S. of the equation :

$\Rightarrow \sqrt{\dfrac{\text{1 + cos A}}{\text{1 - cos A}}} + \sqrt{\dfrac{\text{1 - cos A}}{\text{1 + cos A}}} \\[1em] \Rightarrow \sqrt{\dfrac{\text{1 + cos A}}{\text{1 - cos A}} \times \dfrac{\text{1 + cos A}}{\text{1 + cos A}}} + \sqrt{\dfrac{\text{1 - cos A}}{\text{1 + cos A}} \times \dfrac{\text{1 - cos A}}{\text{1 - cos A}}} \\[1em] \Rightarrow \sqrt{\dfrac{(\text{1 + cos A})^2}{\text{1 - cos}^2 A}} + \sqrt{\dfrac{(\text{1 - cos A})^2}{\text{1 - cos}^2 A}} \\[1em]$

By formula,

1 - cos² A = sin² A

$\Rightarrow \sqrt{\dfrac{(\text{1 + cos A})^2}{\text{sin}^2 A}} + \sqrt{\dfrac{(\text{1 - cos A})^2}{\text{sin}^2 A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 + cos A}}{\text{sin A}} + \dfrac{\text{1 - cos A}}{\text{sin A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1}{\text{sin A}} + \dfrac{\text{cos A}}{\text{sin A}} + \dfrac{1}{\text{sin A}} - \dfrac{\text{cos A}}{\text{sin A}} \\[1em] \Rightarrow \text{cosec A + cot A + cosec A - cot A} \\[1em] \Rightarrow \text{2 cosec A}.$

Since, L.H.S. = R.H.S.

Hence, proved that $\sqrt{\dfrac{\text{1 + cos A}}{\text{1 - cos A}}} + \sqrt{\dfrac{\text{1 - cos A}}{\text{1 + cos A}}}$ = 2 cosec A.