Prove that :

$\dfrac{\text{tan A}}{\text{1 - cot A}} + \dfrac{\text{cot A}}{\text{1 - tan A}} =$ sec A.cosec A + 1

To prove :

$\dfrac{\text{tan A}}{\text{1 - cot A}} + \dfrac{\text{cot A}}{\text{1 - tan A}} =$ sec A.cosec A + 1

Solving L.H.S. of the equation :

$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{\text{sin A}}{\text{cos A}}}{1 - \dfrac{\text{cos A}}{\text{sin A}}} + \dfrac{\dfrac{\text{cos A}}{\text{sin A}}}{1 - \dfrac{\text{sin A}}{\text{cos A}}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\dfrac{\text{sin A}}{\text{cos A}}}{\dfrac{\text{sin A - cos A}}{\text{sin A}}} + \dfrac{\dfrac{\text{cos A}}{\text{sin A}}}{\dfrac{\text{cos A - sin A}}{\text{cos A}}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{sin A} \times \text{sin A}}{\text{cos A(sin A - cos A)}} + \dfrac{\text{cos} A \times \text{cos A}}{\text{sin A(cos A - sin A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{sin}^2 A}{\text{cos A(sin A - cos A)}} + \dfrac{\text{cos}^2 A}{-\text{sin A(sin A - cos A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{sin}^2 A}{\text{cos A(sin A - cos A)}} - \dfrac{\text{cos}^2 A}{\text{sin A(sin A - cos A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{sin}^3 A - \text{cos}^3 A}{\text{sin A cos A (sin A - cos A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{(sin A - cos A)(sin}^2 A + \text{ cos}^2 A + \text{ sin A cos A})}{\text{sin A cos A(sin A - cos A)}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{(sin}^2 A + \text{ cos}^2 A + \text{ sin A cos A})}{\text{sin A cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 + sin A cos A}}{\text{sin A cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1}{\text{sin A cos A}} + 1 \\[1em] \Rightarrow \text{cosec A sec A} + 1.$

Hence, proved that $\dfrac{\text{tan A}}{\text{1 - cot A}} + \dfrac{\text{cot A}}{\text{1 - tan A}} =$ sec A.cosec A + 1.