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Mathematics

Prove that :

1+ sin A1 - sin A−1 - sin A1 + sin A\sqrt{\dfrac{\text{1+ sin A}}{\text{1 - sin A}}} - \sqrt{\dfrac{\text{1 - sin A}}{\text{1 + sin A}}} = 2 tan A

Trigonometric Identities

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Answer

To prove:

1+ sin A1 - sin A−1 - sin A1 + sin A\sqrt{\dfrac{\text{1+ sin A}}{\text{1 - sin A}}} - \sqrt{\dfrac{\text{1 - sin A}}{\text{1 + sin A}}} = 2 tan A

Solving L.H.S. of the equation :

⇒1 + sin A1 - sin A×1 + sin A1 + sin A−1 - sin A1 + sin A×1 - sin A1 - sin A⇒(1 + sin A)21 - sin2A−(1 - sin A)21 - sin2A\Rightarrow \sqrt{\dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{1 - sin A}} \times \dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{1 + sin A}}} - \sqrt{\dfrac{\text{1 - sin A}}{\text{1 + sin A}} \times \dfrac{\text{1 - sin A}}{\text{1 - sin A}}} \\[1em] \Rightarrow \sqrt{\dfrac{(\text{1 + sin A})^2}{\text{1 - sin}^2 A}} - \sqrt{\dfrac{(\text{1 - sin A})^2}{\text{1 - sin}^2 A}}

By formula,

1 - sin2 A = cos2 A

⇒(1 + sin A)2cos2A−(1 - sin A)2cos2A⇒1 + sin Acos A−1 - sin Acos A⇒1 + sin A - (1 - sin A)cos A⇒1−1+sin A + sin Acos A⇒2 sin Acos A⇒2 tan A.\Rightarrow \sqrt{\dfrac{(\text{1 + sin A})^2}{\text{cos}^2 A}} - \sqrt{\dfrac{(\text{1 - sin A})^2}{\text{cos}^2 A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 + sin A}}{\text{cos A}} - \dfrac{\text{1 - sin A}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{1 + sin A - (1 - sin A)}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{1 - 1 + \text{sin A + sin A}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{2 sin A}}{\text{cos A}} \\[1em] \Rightarrow \text{2 tan A}.

Since, L.H.S. = R.H.S.

Hence, proved that 1+ sin A1 - sin A−1 - sin A1 + sin A\sqrt{\dfrac{\text{1+ sin A}}{\text{1 - sin A}}} - \sqrt{\dfrac{\text{1 - sin A}}{\text{1 + sin A}}} = 2 tan A.

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