Given,
cosec θ = 13 12 \dfrac{13}{12} 12 13
By formula,
⇒ cot2 θ = cosec2 θ - 1
cot 2 θ = ( 13 12 ) 2 − 1 = 169 144 − 1 = 169 − 144 144 = 25 144 ⇒ cot θ = 25 144 = 5 12 \text{cot}^2 \text{ θ} = \Big(\dfrac{13}{12}\Big)^2 - 1 \\[1em] = \dfrac{169}{144} - 1 \\[1em] = \dfrac{169 - 144}{144} \\[1em] = \dfrac{25}{144} \\[1em] \Rightarrow \text{cot θ} = \sqrt{\dfrac{25}{144}} = \dfrac{5}{12} cot 2 θ = ( 12 13 ) 2 − 1 = 144 169 − 1 = 144 169 − 144 = 144 25 ⇒ cot θ = 144 25 = 12 5
Solving,
⇒ 2 sin θ - 3 cos θ 4 sin θ - 9 cos θ [ Dividing numerator and denominator by sin θ ] ⇒ (2 sin θ - 3 cos θ) sin θ (4 sin θ - 9 cos θ) sin θ ⇒ 2 sin θ sin θ − 3 cos θ sin θ 4 sin θ sin θ − 9 cos θ sin θ ⇒ 2 - 3 cot θ 4 − 9 cot θ [ ∵ cot θ = cos θ sin θ ] Substituting values we get ⇒ 2 − 3 × 5 12 4 − 9 × 5 12 ⇒ 2 − 5 4 4 − 15 4 ⇒ 8 − 5 4 16 − 15 4 ⇒ 3 4 1 4 ⇒ 3. \Rightarrow \dfrac{\text{2 sin θ - 3 cos θ}}{\text{4 sin θ - 9 cos θ}} \\[1em] [\text{Dividing numerator and denominator by sin θ}] \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\dfrac{\text{(2 sin θ - 3 cos θ)}}{\text{sin θ}}}{\dfrac{\text{(4 sin θ - 9 cos θ)}}{\text{sin θ}}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\dfrac{\text{2 sin θ}}{\text{sin θ}} - \dfrac{\text{3 cos θ}}{\text{sin θ}}}{\dfrac{\text{4 sin θ}}{\text{sin θ}} - \dfrac{\text{9 cos θ}}{\text{sin θ}}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\text{2 - 3 cot θ}}{{4 - \text{9 cot θ}}} \space [\because \text{cot θ} = \dfrac{\text{cos θ}}{\text{sin θ}}] \\[1em] \text{Substituting values we get} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{2 - 3 \times \dfrac{5}{12}}{4 - 9\times \dfrac{5}{12}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{2 - \dfrac{5}{4}}{4 - \dfrac{15}{4}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\dfrac{8 - 5}{4}}{\dfrac{16 - 15}{4}} \\[1em] \Rightarrow \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{1}{4}} \\[1em] \Rightarrow 3. ⇒ 4 sin θ - 9 cos θ 2 sin θ - 3 cos θ [ Dividing numerator and denominator by sin θ ] ⇒ sin θ (4 sin θ - 9 cos θ) sin θ (2 sin θ - 3 cos θ) ⇒ sin θ 4 sin θ − sin θ 9 cos θ sin θ 2 sin θ − sin θ 3 cos θ ⇒ 4 − 9 cot θ 2 - 3 cot θ [ ∵ cot θ = sin θ cos θ ] Substituting values we get ⇒ 4 − 9 × 12 5 2 − 3 × 12 5 ⇒ 4 − 4 15 2 − 4 5 ⇒ 4 16 − 15 4 8 − 5 ⇒ 4 1 4 3 ⇒ 3.
Hence, 2 sin θ - 3 cos θ 4 sin θ - 9 cos θ = 3. \dfrac{\text{2 sin θ - 3 cos θ}}{\text{4 sin θ - 9 cos θ}} = 3. 4 sin θ - 9 cos θ 2 sin θ - 3 cos θ = 3.
