If $8^x \times 4^y = 32$ and $81^x \div 27^y = 3$; find the values of x and y .

$8^x \times 4^y = 32 \\[1em] ⇒ 2^{3x} \times 2^{2y} = 2^5\\[1em] ⇒ 2^{3x + 2y} = 2^5\\[1em] ⇒ 3x + 2y = 5 ……………(1)$

$81^x \div 27^y = 3\\[1em] ⇒ 3^{4x} \div 3^{3y} = 3^1\\[1em] ⇒ 3^{(4x - 3y)} = 3^1\\[1em] ⇒ 4x - 3y = 1 ………………(2)$

On solving equations (1) and (2), we get:

⇒ (3x + 2y = 5) x 4

(4x - 3y = 1) x 3

$\begin{matrix} & 12x & + & 8y & = & 20 \ & 12x & - & 9y & = & 3 \ & - & + & & & - \ \hline & & & 17y & = & 20 - 3 \ \Rightarrow & & & 17y & = & 17 \end{matrix}$

⇒ y = $\dfrac{17}{17}$

⇒ y = 1

Substituting the value of y in equation (1), we get:

⇒ 3x + 2 $\times$ 1 = 5

⇒ 3x + 2 = 5

⇒ 3x = 5 - 2

⇒ 3x = 3

⇒ x = $\dfrac{3}{3}$

⇒ x = 1

Hence, the value of x = 1 and y = 1.